當我們研究某種生物（例如藍藻）的指數增長時，若其增長率為 $6.25\%$，則經過 $x$ 天後的數量可表示為 $y = (1+6.25\%)^x$。那麼，若 $x$ 非整數（例如 $1.5$ 天），此公式是否仍具意義？為了解答此問題，我們必須將指數的定義從整數推廣至有理數，甚至實數，這正是數系擴張的必然要求。
$n$ 次方根與分數指數冪
$n$ 次方根的定義： 一般而言，若 $x^n=a$，則稱 $x$ 為 $a$ 的 $n$ 次方根，其中 $n>1$ 且 $n \in \mathbf{N}^*$。式子 $\sqrt[n]{a}$ 稱為根式。
分數指數冪： 為統一運算性質，我們規定正數的正分數指數冪為：$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} (a>0)$。這意味著所有根式皆可轉化為冪的形式進行運算。
根式是冪運算在分數維度的體現。透過定義分數指數冪，我們消除了根號與指數之間的界線，使運算性質得以統一。
$$(\sqrt[n]{a})^n=a, \quad \sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}} (b>0)$$